Здравствуйте, дорогие читатели и подписчики!
Эта статья посвящена удивительному разделу математики. Будучи отцом, я часто помогаю детям с домашними заданиями. Проверяя летние задачи дочери, я обнаружил в учебнике увлекательный параграф о формуле, носящей имена двух великих учёных — формуле Ньютона-Симпсона.
Хотя эта формула относится к методам численного интегрирования из высшей математики, её элегантность и простота позволяют изучать её даже в школе. Её главная магия в универсальности: одна-единственная формула Симпсона даёт возможность вычислять как площади плоских фигур, так и объёмы пространственных тел.
Как выглядит формула?
Вот её общий вид:
Ключ к применению — в понимании параметров b. При расчёте объёмов под b подразумеваются площади: нижнего основания, среднего сечения и верхнего основания. При вычислении площадей плоских фигур b — это длины соответствующих отрезков: нижнего основания, средней линии и верхнего основания.
- b₁ — длина или площадь нижнего основания.
- b₂ — длина средней линии или площадь центрального сечения.
- b₃ — длина или площадь верхнего основания.
Наглядные примеры применения
1. Вычисление объёмов тел
Рассмотрим, как формула работает для знакомых фигур. Возьмём, к примеру, конус или пирамиду. Школьный курс геометрии учит нас, что их объём равен трети произведения площади основания на высоту.
Применим формулу Симпсона. Для пирамиды или конуса: площадь верхнего основания (b₃) равна нулю, а площадь среднего сечения (b₂) составляет четверть от площади основания (b₁). Подставляем значения:
V = (H/6) * (b₁ + 4*(b₁/4) + 0) = (H * b₁) / 3.
В результате мы получили классическую школьную формулу! Аналогичным образом формула Симпсона легко преобразуется в формулы для объёма цилиндра, призмы или даже шара. Для шара она даст всем известный результат: 4/3 * π * r³.
Универсальность формулы, позволяющей находить объёмы таких разных фигур, уже впечатляет. Но её возможности на этом не заканчиваются.
2. Вычисление площадей фигур
Перейдём к плоским фигурам. Формула Симпсона блестяще справляется и с этой задачей.
Площадь трапеции: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований (b₂ = (b₁ + b₃)/2). Подставляя в формулу, получаем: S = h/6 * (b₁ + 4*((b₁+b₃)/2) + b₃) = h/2 * (b₁ + b₃). Это и есть стандартная формула.
Площадь треугольника: Верхнее основание равно нулю (b₃=0), а средняя линия равна половине основания (b₂ = b₁/2). Получаем: S = h/6 * (b₁ + 4*(b₁/2) + 0) = (1/2) * b₁ * h.
Площадь параллелограмма или прямоугольника: Здесь все три отрезка равны (b₁ = b₂ = b₃). Формула даёт: S = h/6 * (b₁ + 4b₁ + b₁) = b₁ * h.
Таким образом, одна простая формула объединяет в себе множество правил из школьного учебника геометрии. Если ваши дети ещё не знакомы с формулой Ньютона-Симпсона, обязательно покажите им этот элегантный математический инструмент — он расширит их понимание и упростит вычисления.
На этом всё. С вами был Роман, канал «Строю для Себя». Удачи в изучении математики!
Больше материалов здесь: Строим.
Источник статьи: Достаточно знать всего одну формулу, чтобы вычислять и площади, и объемы различных фигур — формула Симпсона.